Question

已知，．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別比較f（n）與g（n）的大小（直接給出結(jié)論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，，f（1）＞g（1），
當(dāng)n=2時(shí)，，，f（2）＞g（2），
當(dāng)n=3時(shí)，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，上面已證．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即
則當(dāng)n=k+1時(shí)，=；
而，
下面轉(zhuǎn)化為證明：
只要證：，
需證：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即證：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式顯然成立．
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
綜上可知：對(duì)n∈N*，猜想都成立，即成立．