Question

圓錐PO如圖1所示，圖2是它的正（主）視圖．已知圓O的直徑為AB，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求該圓錐的側(cè)面積S；
（Ⅱ） 求證：平面PAC⊥平面POD；
（Ⅲ） 若∠CAB=60°，求三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定圓的半徑，求出圓錐的母線長(zhǎng)，可得圓錐的側(cè)面積S；
（Ⅱ） 連接OC，先根據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結(jié)合PO⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅲ） 若∠CAB=60°利用等體積轉(zhuǎn)化，可求三棱錐A-PBC的體積．

解答：（Ⅰ）解：由正（主）視圖可知圓錐的高PO=

2

，圓O的直徑為AB=2，故半徑r=1．
∴圓錐的母線長(zhǎng)PB=

PO2+OB2

=

2 2+12

=

3

，
∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×1×

3

=

3

π．             …（4分）
（Ⅱ）證明：連接OC，
∵OA=OC，D為AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC．
∵PO⊥圓O，AC?圓O，∴PO⊥AC．
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）
（Ⅲ）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴S△CAB=

3

2

∵PO=

2

∴三棱錐A-PBC的體積為

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖，考查面面垂直，考查側(cè)面積與體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．