Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）用含x的式子表示

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|

a

+

b

|的值域；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=

a

•

b

+t|

a

+

b

|，若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，由此能求出

a

•

b

及|

a

+

b

|．
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=2（cosx-2）²-9，由此能求出f（x）的值域．
（Ⅲ）由g（x）+2=0，得：2cos²x+2tcosx+1=0，令cosx=u∈[0，1]，F(xiàn)（μ）=2μ²+2tμ+1，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]，
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，…（2分）
|

a

+

b

|²=1+2cos2x+1
=2（1+cos2x）
=4cos²x，
∴|

a

+

b

|=2cosx，x∈[0，

π

2

]．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9，
又x∈[0，

π

2

]，
∴cosx∈[0，1]，f（x）∈[-7，-1]．…（8分）
（Ⅲ）由g（x）+2=0，
得：2cos²x+2tcosx+1=0，
令cosx=u∈[0，1]，F(xiàn)（μ）=2μ²+2tμ+1，
∴

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)=1≥0 F(1)=1+2t+1≥0

，…（10分）
解得t∈[-

3

2

，-

2

）．…（12分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積和向量的模的求法，考查函數(shù)的值域的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意平面向量知識的合理運用．