Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值；
（Ⅱ）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，再通過列表得出導數(shù)的正負與單調性的規(guī)律，得出函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為f（-2）和f（1）中的較小的函數(shù)值；
（Ⅱ）轉化為不等式3a≤x2-

lnx

x

在區(qū)間[1，2]上恒成立，變成求右邊函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值問題，通過討論導數(shù)的符號，得到3a≤1，從而求得a的取值范圍；
（Ⅲ）首先發(fā)現(xiàn)函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，故只需求h（x）在[0，1]上的最大值．然后根據(jù)參數(shù)a的取值范圍，分別討論函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上的單調性，從而得到函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值F（a）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-3=0∴x=±1
列表得

可得，函數(shù)的最小值為f（x）_min=f（-2）=-2
（Ⅱ）∵在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立
設h（x）=x2-

lnx

x

則h′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

∵2x³-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）_min=h（1）=1
∴a≤

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②當a＞0時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，（�。┊�

a

≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，f(x)在[0，

a

]上單調遞減，在[

a

，1]單調遞增；
1°當f(1)=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，

a

]上單調遞增，在[

a

，1]上單調遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

（�。┊�-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）當-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(xiàn)(a)=-f(

a

)=2a

a

點評：利用導數(shù)工具討論函數(shù)的單調性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法．本題還考查了分類討論思想在函數(shù)題中的應用，同學們在做題的同時，可以根據(jù)單調性，結合函數(shù)的草圖來加深對題意的理解．