Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長與側(cè)棱長都是2，D，E分別是BB₁，CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積；
（Ⅱ）求證：BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求證：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意知，正三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面均為正方形，因此不難計算得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積S=2×

3

4

×22+3×22=12+2

3

．
（Ⅱ）欲證直線與平面平行先找直線與直線平行，由此利用三角形的中位線定理，得出四邊形BDC₁E是平行四邊形，最后結(jié)合直線與平面平行的判定定理，
得到BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）取AC中點(diǎn)H，連OH、BH在△ACC₁中利用中位線定理，結(jié)合BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁，可證得四邊形BDOH是平行四邊形．最后利用OD的平行線BH與平面ACC₁A₁垂直，得到OD的與平面ACC₁A₁，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理得到平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（I）解由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且棱長均為2，
可知底面是正三角形，側(cè)面均為正方形，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積S=2×

3

4

×22+3×22=12+2

3

．
（II）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因?yàn)镈，E分別是BB₁，CC₁的中點(diǎn)，
可知BD=

1

2

BB1=

1

2

CC1=EC1，又BD∥EC₁，
所以四邊形BDC₁E是平行四邊形，故BE∥DC₁，
又DC₁?平面ADC₁，BE?平面ADC₁，
所以BE∥平面ADC₁．
（III）取AC中點(diǎn)H，連接OH、BH
∵在△ACC₁中，OH是中位線
∴OH∥ CC 1且OH=

1

2

CC 1，結(jié)合BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁
得四邊形BDOH是平行四邊形
∴BH∥OD
∵BH⊥平面ACC₁A₁
∴OD⊥平面ACC₁A₁
因?yàn)镺D在平面ADC₁內(nèi)
∴平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁

點(diǎn)評：本題考查了平面與平面、平面與直線的平行及垂直等定理，屬于中檔題．解決本問題的關(guān)鍵是熟練利用空間線面關(guān)系、線線關(guān)系解決夾角與距離問題，主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．