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19.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1ab0的離心率是32,且直線l1xa+y=1被橢圓C截得的弦長為5
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線l1與圓D:x2+y2-6x-4y+m=0相切:
(i)求圓D的標準方程;
(ii)若直線l2過定點(3,0),與橢圓C交于不同的兩點E、F,與圓D交于不同的兩點M、N,求|EF|•|MN|的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率公式及勾股定理即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ)(i)由題意求得直線l1方程,將圓轉(zhuǎn)化成標準方程,利用點圓心到直線的距離公式,求得半徑,即可求得橢圓方程;
(ii)設(shè)l2:y=k(x-3),代入橢圓方程,利用韋達定理及弦長公式求得|EF|•|MN|,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得|EF|•|MN|的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由已知得直線l1過定點(a,0),(0,b),a2+b2=5,
ca=32,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,
故所求橢圓C的標準方程為x24+y2=1
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直線l1的方程為x2+y=1,即x+2y-2=0,
又圓D的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=13-m,
∴圓心為(3,2),圓的半徑r=|3+2×22|12+22=5
∴圓D的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=5.
(ii)由題可得直線l2的斜率存在,
設(shè)l2:y=k(x-3),與橢圓C的兩個交點為E(x1,y1)、F(x2,y2),
{y=kx+3x24+y2=1消去y得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,
由△>0,得0k215,x1+x2=24k21+4k2,x1x2=36k241+4k2,
|EF|=1+k2[x1+x224x1x2]=1+k2[24k21+4k224×36k241+4k2]=41+k215k21+4k22
又圓D的圓心(3,2)到直線l2:kx-y-3k=0的距離d=|3k23k|k2+1=2k2+1,
∴圓D截直線l2所得弦長|MN|=2r2d2=25k2+1k2+1,
|EF||MN|=41+k215k21+4k22×25k2+1k2+1=8125k41+4k22
設(shè)t=1+4k2[195,k2=t14
|EF||MN|=8125t142t2=291t2+501t25,
∵y=-9x2+50x-25的對稱軸為x=259,在591]上單調(diào)遞增,0<y≤16,
091t2+501t2516,
∴0<|EF|•|MN|≤8.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標準方程,考查韋達定理,弦長公式及圓錐曲線與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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