分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率公式及勾股定理即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ)(i)由題意求得直線l1方程,將圓轉(zhuǎn)化成標準方程,利用點圓心到直線的距離公式,求得半徑,即可求得橢圓方程;
(ii)設(shè)l2:y=k(x-3),代入橢圓方程,利用韋達定理及弦長公式求得|EF|•|MN|,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得|EF|•|MN|的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)由已知得直線l1過定點(a,0),(0,b),a2+b2=5,
又ca=√32,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,
故所求橢圓C的標準方程為x24+y2=1.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直線l1的方程為x2+y=1,即x+2y-2=0,
又圓D的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=13-m,
∴圓心為(3,2),圓的半徑r=|3+2×2−2|√12+22=√5,
∴圓D的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=5.
(ii)由題可得直線l2的斜率存在,
設(shè)l2:y=k(x-3),與橢圓C的兩個交點為E(x1,y1)、F(x2,y2),
由{y=k(x+3)x24+y2=1消去y得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,
由△>0,得0≤k2<15,x1+x2=24k21+4k2,x1x2=36k2−41+4k2,
∴|EF|=√1+k2[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(24k21+4k2)2−4×36k2−41+4k2]=4√(1+k2)(1−5k2)(1+4k2)2.
又圓D的圓心(3,2)到直線l2:kx-y-3k=0的距離d=|3k−2−3k|√k2+1=2√k2+1,
∴圓D截直線l2所得弦長|MN|=2√r2−d2=2√5k2+1k2+1,
∴|EF|•|MN|=4√(1+k2)(1−5k2)(1+4k2)2×2√5k2+1k2+1=8√1−25k4(1+4k2)2,
設(shè)t=1+4k2∈[1,95),k2=t−14,
則|EF|•|MN|=8√1−25(t−14)2t2=2√−9(1t)2+50(1t)−25,
∵y=-9x2+50x-25的對稱軸為x=259,在(59,1]上單調(diào)遞增,0<y≤16,
∴0<−9(1t)2+50(1t)−25≤16,
∴0<|EF|•|MN|≤8.
點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標準方程,考查韋達定理,弦長公式及圓錐曲線與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=±(x-p) | B. | y=±2(x-p) | C. | y=±23(x-p) | D. | y=±12(x-p) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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