已知直線l1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0(m∈R)和直線l1:x+3y-5=0,圓C:x2+y2-2x-4y=0.
(1)當m為何值時,l1∥l2?
(2)是否存在點P,使得不論m為何值,直線l1都經過點P?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)試判斷直線l1與圓C的位置關系.若相交,求截得的弦長最短時m的值以及最短長度;若相切,求切點的坐標;若相離,求圓心到直線l1的距離的最大值.
【答案】
分析:(1)利用直線平行的條件,建立方程,即可得出結論;
(2)直線l
1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0(m∈R)可化為(2x+y-7)m+(x+y-5)=0,由此可得結論;
(3)確定P在圓內,可得直線l
1與圓C相交.當直線l
1與直線PC垂直時,截得的弦長最短,從而可得結論.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/images0.png)
解:(1)∵直線l
1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0(m∈R)和直線l
1:x+3y-5=0,l
1∥l
2,
∴3(2m+1)-(m+1)=0
∴m=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/0.png)
;
(2)直線l
1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0(m∈R)可化為(2x+y-7)m+(x+y-5)=0
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/1.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/2.png)
∴存在P(2,3),使得不論m為何值,直線l
1都經過點P;
(3)圓方程化為標準方程為(x-1)
2+(y-2)
2=5
∴圓心C(1,2),半徑為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/3.png)
∴點P到圓心的距離d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/4.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/5.png)
∴P在圓內,∴直線l
1與圓C相交
當直線l
1與直線PC垂直時,截得的弦長最短,最短長度為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/6.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/7.png)
此時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173924505421778/SYS201311031739245054217018_DA/8.png)
∴m=0.
點評:本題考查直線與圓的位置關系,考查學生分析解決問題的能力,確定P在圓內是關鍵.