四個半徑均為1的球兩兩相切,都在一個大球里,且都與大球相切,試求這個大球的體積.

思路解析:由四個半徑都是1的球兩兩外切,其球心構(gòu)成邊長為2的正四面體.這四個球又都與大球相切,

所以這個大球與正四面體的外接球是同心球,大球半徑R等于正四面體外接球的半徑r加上小球半徑1,R=r+1.這樣問題轉(zhuǎn)化為已知棱長為2的正四面體,求其外接圓半徑r.

解:四個小球的球心構(gòu)成棱長為2的正四面體,

將其補成正方體,∴正方體的對角線為其外接球的直徑2r.

∵正四面體棱長為2,∴正方體棱長為.

∴(2r)2=()2+()2+()2.

∴

∴與四個小球都相切的大球半徑R=r+1=1+.

∴這個大球的體積V=≈46.12(立方單位).

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科目：高中數(shù)學 來源：設(shè)計必修二數(shù)學北師版 北師版 題型：044

四個半徑均為1的球兩兩相切，都在一個大球里，且都與大球相切，試求這個大球的體積．

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