Question

在平面直角坐標系xoy中，過定點C（p，0）作直線m與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點．
（I）設(shè)N（-p，0），求的最小值；
（II）是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標，設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達出兩個向量的數(shù)量積．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，再利用弦長公式，求出a，p的關(guān)系式，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（I）依題意，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=my+p
由⇒y²-2pmy-2p²=0（2分）∴
當m=0時的最小值為2p²．（7分）
（II）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，AC的中點為o′，l與以AC為直徑的圓
相交于P，Q，PQ中點為H，則o′H⊥PQ，o′的坐標為．∵（9分）
∴（13分）
令=0得．此時|PQ|=p為定值．故滿足條件的直線l存在，
其方程為x=（15分）
點評：本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運用，解題時要注意方程思想和弦長公式的合理運用，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．