(2013•惠州模擬)已知點(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)cn=bn•(
1
3
)n
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn
(3)若數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn,問Tn
1000
2009
的最小正整數(shù)n是多少?
分析:(1)由點(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象上一點(diǎn),求出函數(shù)解析式,根據(jù)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,依次求出a1,a2,a3,然后由a22=a1a3求出c,則首項(xiàng)和公比可求,所以通項(xiàng)公式可求,再由數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).展開等式左邊約分后可得數(shù)列{
Sn
}為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列,求出Sn后,由bn=Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)把數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{cn}的通項(xiàng)cn=bn•(
1
3
)n
,然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和;
(3)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn,代入Tn
1000
2009
進(jìn)行求解.
解答:解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象上一點(diǎn),
所以f(1)=a=
1
3
,所以,f(x)=(
1
3
)x

因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,
所以a1=f(1)-c=
1
3
-c

a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=(
1
3
)2-c-
1
3
+c=-
2
9
,
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=(
1
3
)3-c-(
1
3
)2+c=-
2
27

又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列,所以,a1=
a22
a3
=
4
81
-
2
27
=-
2
3
=
1
3
-c
,所以c=1.
所以
1
3
-1=-
2
3

又公比q=
a3
a2
=
-
2
27
-
2
9
=
1
3

所以an=-
2
3
(
1
3
)n-1=-2(
1
3
)n

由數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
  (n≥2),
又bn>0,
Sn
>0
,所以
Sn
-
Sn-1
=1

所以,數(shù)列{
Sn
}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列,
Sn
=1+(n-1)×1=n
,所以Sn=n2
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
滿足b1=c=1.
所以,bn=2n-1(n∈N*);
(2)由cn=bn(
1
3
)n=(2n-1)(
1
3
)n
,
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn=1×(
1
3
)1+3×(
1
3
)2+5×(
1
3
)3+…+(2n-1)×(
1
3
)n

兩邊同時(shí)乘以
1
3
得:
1
3
Rn=1×(
1
3
)2+3×(
1
3
)3+5×(
1
3
)4
+…+(2n-3)×(
1
3
)n+(2n-1)×(
1
3
)n+1

①式減②式得:
2
3
Rn=
1
3
+2[(
1
3
)2+(
1
3
)3+(
1
3
)4+…+(
1
3
)n]
-(2n-1)×(
1
3
)n+1


化簡得:
2
3
Rn=
1
3
+2×
(
1
3
)2[1-(
1
3
)n-1]
1-
1
3
-(2n-1)×(
1
3
)n+1
=
2
3
-
2(n+1)
3
×(
1
3
)n


所以Rn=1-
n+1
3n

(3)Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1

=
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)

=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)+
1
2
(
1
5
-
1
7
)+…+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
;
Tn=
n
2n+1
1000
2009
,得n>
1000
9
,所以,滿足Tn
1000
2009
的最小正整數(shù)為112.
點(diǎn)評:本題考查了等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和,比較綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,特別是(1)中求解兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要有一定的靈活變化技巧,此題屬于難題.
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1
2
1
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