Question

已知函數，其中實數a為常數．

(I)當a=-l時，確定的單調區(qū)間：

(II)若f(x)在區(qū)間（e為自然對數的底數）上的最大值為-3，求a的值；

(Ⅲ)當a=-1時，證明．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數.(Ⅱ). (Ⅲ) 見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過求導數，時， 時，，單調函數的單調區(qū)間.

(Ⅱ)遵循“求導數，求駐點，討論區(qū)間導數值正負，確定端點函數值，比較大小”等步驟，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情況加以討論.

(Ⅲ) 根據函數結構特點，令，利用“導數法”，研究有最大值，根據, 得證.

試題解析：(Ⅰ)當時，,∴，又,所以

當時， 在區(qū)間上為增函數，

當時，，在區(qū)間上為減函數，

即在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數.    4分

(Ⅱ)∵，①若，∵,則在區(qū)間上恒成立，

在區(qū)間上為增函數，，∴，舍去;

②當時，∵，∴在區(qū)間上為增函數，

，∴，舍去;

③若，當時，在區(qū)間上為增函數，

當時， ，在區(qū)間上為減函數，

，∴.

綜上.                                    9分

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，當時，有最大值，最大值為，即，

所以，                              10分

令，則，

當時，，在區(qū)間上為增函數，

當時，，在區(qū)間上為減函數，

所以當時，有最大值，12分

所以,

即.                            13分

考點：應用導數研究函數的單調性、極值、最值、證明不等式.