Question

若x²+y²=1，設z=

1

x2

+

y

x

，則z的最小值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題利用條件將原函數化成

y

x

的二次函數，再求出相應二次函數的最小值，得到本題的解．

解答： 解：∵x²+y²=1，
∴z=

1

x2

+

y

x

=

x2+y2

x2

+

y

x

=(

y

x

)2+

y

x

+1．
設

y

x

=t，
則z=f(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

．
當且僅當t=-

1

2

，即x=-

2 5

5

，y=

5

5

或x=

2 5

5

，y=-

5

5

時，z取最小值．

點評：本題考查的是二次函數的值域，難點是通過化歸轉化，將原函數化成

y

x

的二次函數．本題還可以通過三角代換去研究．