Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos²x-1，
∴f（x）=sin2x+cos2x=．…..（3分）
因此，函數(shù)的周期T=．…..（5分）
又∵，
∴，當(dāng)2x+=+2kπ時(shí)，即x=+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)的最大值為．
綜上所述，函數(shù)f（x）的最小正周期是π；最大值是．…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．
∵，得．
∴-≤≤=1
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值是1；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值是．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值是1，最小值是．…..（13分）
分析：（I）根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)整理得f（x）=．再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期與最值的結(jié)論，不難得到函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（II）由（I）得到的表達(dá)式，結(jié)合當(dāng)x∈時(shí)，，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的公式，即可得到函數(shù)的最大值與最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)的降冪公式，將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)并求函數(shù)的周期與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．