Question

（文科）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4，點M在線段CC₁上．
（1）求異面直線A₁B與AC所成角的大��；
（2）若直線AM與平面ABC所成角為，求多面體ABM-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）連接BC₁則由于在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AC∥A₁C₁故異面直線A₁B與AC所成角即為直線A₁B與A₁C₁所成的角
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4
∴BC₁=，A₁B=，
∴cos∠BA₁C₁==
∴異面直線A₁B與AC所成角即為arccos
（2）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=
∵BC=2
∴MC=2
∵
∴=×2×2×4-×=
即多面體ABM-A₁B₁C₁的體積為
分析：（1）利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性質(zhì)可得直線A₁B與A₁C₁所成的角即為所求然后在三角形A₁C₁B利用余弦定理即可得解．
（2）由于多面體ABM-A₁B₁C₁的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線AM與平面ABC所成角為來確定點M的位置后問題就解決了．
點評：本題主要考查了異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關(guān)鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角而第二問對于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體ABM-A₁B₁C₁的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）！