Question

如圖，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，直線ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．
（1）求證：FG∥AC；
（2）若CG=1，CD=4．求

DE

GF

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,相似三角形的判定

專題：直線與圓,推理和證明

分析：（1）由切割線定理得AB²=AD•AE，從而AD•AE=AC²，進(jìn)而△ADC∽△ACE，由此能證明FG∥AC．
（2）由題意可得：G，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，從而△CGF∽△CDE，由此能求出

DE

GF

．

解答： （1）證明：∵AB為切線，AC為割線，∴AB²=AD•AE，
又∵AC=AB，∴AD•AE=AC²．
∴

AD

AC

=

AC

AE

，又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，
∴FG∥AC．（5分）
（2）解：由題意可得：G，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
∴△CGF∽△CDE，∴

DE

GF

=

CD

CG

．
又∵CG=1，CD=4，∴

DE

GF

=4．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線平行的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．