Question

如圖，四邊形ABCD與BDEf均為菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2

3

．
（1）求證：OF⊥平面ABCD；
（2）求二面角F-BC-D的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能夠證明OF⊥平面ABCD．
（2）過O作OH⊥BC于H，連結(jié)HF，由三垂線定理知∠FHO為二面角F-BC-D的平面角，由此能求出二面角F-BC-D的正切值．

解答： （1）證明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2

3

，
∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°，
∴OF=

3

，∠FOB=90°，∴OF⊥BD，
∴OF⊥平面ABCD．
（2）解：∵OF⊥平面ABCD，過O作OH⊥BC于H，連結(jié)HF，
∴由三垂線定理知∠FHO為二面角F-BC-D的平面角，
又∵OF=

3

，OH=

3

2

，∴tan∠OHF=2，
∴二面角F-BC-D的正切值為2．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要合理地化空間問題為平面問題．