Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，已知直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(A，B兩點(diǎn)分別在軸的上、下方)．

(1)求證：；

(2)已知弦長(zhǎng)，試求：過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與直線相切的圓D的方程．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或

【解析】

(1) 由與得，解得 ，又 ，從而得到結(jié)果；(2) 由弦長(zhǎng)及拋物線定義可得m=1.圓心D在線段AB的中垂線上，求出中垂線方程，設(shè)出所求圓的圓心坐標(biāo)為，借助點(diǎn)到線的距離公式可得圓D的方程．

（1）由與消去x，得，

設(shè)，

則為方程的兩個(gè)不同的根，

所以，

因?yàn)?/span>A，F，B三點(diǎn)共線，所以

（2）因?yàn)?/span>AB=8，

所以.

所以，

所以m=1.

線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3m，2m），即（3，2），

所以線段AB的中垂線方程為，

因?yàn)樗�求的圓過(guò)A，B點(diǎn)，所以圓心D在直線上，

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，

不難算得兩條平行線與

之間的距離，

即D到直線的距離，

由D到直線的距離得.

設(shè)圓D的半徑為R，

則，

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)B的圓與直線相切，所以，

所以，

解得，或，

所以所求圓的方程為或.