Question

已知函數y=x³-3mx²-4n³(mn≠0),過原點作函數圖象的一條切線,切點A恰好是函數的極值點.

(1)討論函數的單調性；

(2)證明:m+n=0.

(3)記f(x)=x³-3mx²-4n³(m<0),當x∈[-1,1]時,總有f(x)>-1,求m的取值范圍.

Answer 1

解：(1)先求導,得y′=3x²-6mx, 令y′=0,得x=0,或x=2m.

   則根據題意可知,點A的坐標為(0,0)或(2m,0).

   當點A的坐標為(0,0)時,將點A的坐標代入y=x³-3mx²-4n³得n=0,

   與mn≠0矛盾， 所以, x=0舍去.

   由已知,m≠0.

當m<0時,函數在(-∞,2m),(0,+∞)內單調遞增；在(2m,0)單調遞減 .

   當m>0時,函數在(-∞,0),(2m,+∞)內單調遞增；在(0,2m)內單調遞減.

       (2)證明:由(1)可知,點A(2m,0)在函數的圖象上,

        ∴0=(2m)³-3m?(2m)-4n³,

        ∴m³=-n³,

        ∴m+n=0.

        (3)由(2)可得, f(x)=x³-3mx²+4m³,  ∴f(-1)=-1-3m+4m³,

        由(1)可知,當m<0時,在(0,1]內,函數f(x)單調遞增,點(0,4m³)為函數的極小值點, 

當x∈[-1,1]時,總有f(x)>-1當且僅當

          

         解得,   -<m<0.