Question

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，試確定三角形的形狀．

Answer 1

解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²-bc+c²=a²
根據(jù)余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=
∴A=60°
sinA=2sinBcosC
sin（B+C）=2sinBcosC
∴sin（B-C）=0
B=C，∵A=60°，∴B=C=60°
∴△ABC是等邊三角形．
分析：通過(guò)（a+b+c）（b+c-a）=3bc化簡(jiǎn)整理得b²-bc+c²=a²，利用余弦定理中求得cosB，進(jìn)而求得B=60°，把B代入sinA=2sinB cosC中化簡(jiǎn)整理求得tanA，進(jìn)而求得A，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得C，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式．