設(shè)平面內(nèi)兩向量滿(mǎn)足:,點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足:互相垂直.求證:平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B,使對(duì)滿(mǎn)足條件的任意一點(diǎn)M均有|等于定值.
【答案】分析:由已知可得,把已知條件代入整理可得M的軌跡是雙曲線(xiàn),由雙曲線(xiàn)的定義可知,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)即為雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn),而定值即為雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)2a
解答:證明:∵,∴
垂直,且


整理可得
M(x,y)的軌跡是以(0,)(0,-)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
由雙曲線(xiàn)的定義可知當(dāng)A,B分別為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí),||MA|-|MB||=4
點(diǎn)評(píng):本題以向量垂直為切入點(diǎn),綜合考查雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用,靈活熟練的推理論證及對(duì)基本知識(shí)的掌握是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)平面內(nèi)兩向量
a
,
b
滿(mǎn)足:
a
b
,|
a
|=2,|
b
|=1
,點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足:x
a
+(y2-4)
b
-x
a
+
b
互相垂直.求證:平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B,使對(duì)滿(mǎn)足條件的任意一點(diǎn)M均有|||
MA
|-|
MB
||
等于定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下5個(gè)命題:
①曲線(xiàn)x2-(y-1)2=1按
a
=(1,-2)
平移可得曲線(xiàn)(x+1)2-(y-3)2=1;
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),n為常數(shù),|
PA
|-|
PB
|=n
,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn);
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是該橢圓上的任意一點(diǎn),延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M,使|F2P|=|PM|,則點(diǎn)M的軌跡是圓;
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn),平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足向量
AB
AP
夾角為銳角θ,且滿(mǎn)足 |
PB
| |
AB
| +
PA
AB
=0
,則點(diǎn)P的軌跡是圓(除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn));
⑤已知正四面體A-BCD,動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分.
其中所有真命題的序號(hào)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•閘北區(qū)一模)設(shè)
a
、
b
為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量
c
滿(mǎn)足(
c
+
a
)•(
c
-
b
)=0
,則|
c
|
的最大值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:高考零距離 二輪沖刺優(yōu)化講練 數(shù)學(xué) 題型:047

設(shè)平面內(nèi)兩向量a、b滿(mǎn)足:ab,|a|=2,|b|=1,點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足:xa+(y2-4)b與-xab互相垂直.

求證:平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B,使對(duì)滿(mǎn)足條件的任意一點(diǎn)M均有|||-|||等于定值.

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