Question

某人上樓梯，每步上一階的概率為

2

3

，每步上二階的概率為

1

3

，設(shè)該人從臺(tái)階下的平臺(tái)開始出發(fā)，到達(dá)第n階的概率為P_n．
（Ⅰ）求P₂；
（Ⅱ）該人共走了5步，求該人這5步共上的階數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得：從平臺(tái)到達(dá)第二階有二種走法：走兩步，或一步到達(dá)，由互斥事件的概率公式計(jì)算可得答案．
（2）該人走了五步，共上的階數(shù)ξ取值為5，6，7，8，9，10．由題意得出ξ的分布列，進(jìn)而根據(jù)公式求出其數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）從平臺(tái)到達(dá)第二階有二種走法：走兩步，或一步到達(dá)，
故概率為P₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

=

7

9

（2）該人走了五步，共上的階數(shù)ξ取值為5，6，7，8，9，10   
ξ的分布列為：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	C 0 5 ( 2 3 )5	C 1 5 1 3 ( 2 3 )4	C 2 5 (  1 3 )2( 2 3 )3	C 3 5 ( 1 3 )3( 2 3 )2	C 4 5 ( 1 3 )4( 2 3 )	C 5 5 ( 1 3 )5

E（ξ）=5×（

2

3

）⁵+6×

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+7×

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+8×

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+9×

C

4 5

(

1

3

)4(

2

3

) +10×

C

5 5

(

1

3

)5=

20

3

．
故該人這5步共上的階數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握條件，熟練掌握各種概率的計(jì)算公式．