如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

求證：（1）PC⊥BC；

（2）求點A到平面PBC的距離。

 

【答案】

（1）先證BC⊥平面PCD （2）

【解析】

試題分析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC。

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

∴BC⊥平面PCD。

∵PC平面PCD，∴PC⊥BC。

（2）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：

易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD于PC。

∵PD=DC，PF=FC，∴DF⊥PC。∴DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于.

考點：點、線、面間的距離計算 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

點評：本題考查線面平行，線面垂直，線線垂直，考查點到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定方法，利用等體積轉(zhuǎn)化求點面距離．

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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