Question

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，設D為AA₁的中點．
（Ⅰ）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
（Ⅱ）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）BC邊上是否存在點P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知該幾何體為直三棱柱，利用直觀圖的數據求出S_△ABC和V即可．
（Ⅱ）連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C、BC₁的中點，連接DE．證明△ABD≌△A₁C₁D，證明DE⊥BC₁．DE⊥B₁C，，B₁C∩BC₁=E．證明DE⊥平面BB₁C₁C．然后證明平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅲ）取BC的中點P，連接AP，證明AP∥DE即可證明AP∥平面BDC₁．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知該幾何體為直三棱柱，且它的直觀圖如圖所示．由圖知底面正三角形邊長為2，棱柱高為3，
∴S_△ABC=

3

，∴V=3

3

（4分）
（Ⅱ）證明：連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C、BC₁的中點，連接DE．
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°，
∴△ABD≌△A₁C₁D．∴BD=C₁D．∴DE⊥BC₁．
同理，DE⊥B₁C，
又∵B₁C∩BC₁=E．∴DE⊥平面BB₁C₁C．
又∵DE?平面BDC₁，∴平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．（8分）
（Ⅲ）解：取BC的中點P，連接AP，則AP∥平面BDC₁，
證明：連接PE，則PE∥AD，且PE=AD，∴四邊形APED為平行四邊形．
∴AP∥DE．又DE?平面BDC₁，AP?平面BDC₁，
∴AP∥平面BDC₁．（12分）

點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，幾何體的體積與面積的求法，直線與平面垂直與平行，平面與平面垂直的證明方法，考查空間想象能力．