已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N*，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=•，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．
【答案】分析：（1）由題意可得，an+1===，從而可得，可證
（2）由基本不等式可得，，由{an}是等比數(shù)列利用反證法可證明q==1，進(jìn)而可求a1，b1
解答：解：（1）由題意可知，an+1===
∴
從而數(shù)列{}是以1為公差的等差數(shù)列
（2）∵an＞0，bn＞0
∴
從而（*）
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an＞0可知q＞0
下證q=1
若q＞1，則，故當(dāng)時，與（*）矛盾
0＜q＜1，則，故當(dāng)時，與（*）矛盾
綜上可得q=1，an=a1，
所以，
∵
∴數(shù)列{bn}是公比的等比數(shù)列
若，則，于是b1＜b2＜b3
又由可得
∴b1，b2，b3至少有兩項相同，矛盾
∴，從而=
∴
點評：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}，{bn}，由下表給出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并規(guī)定數(shù)列{an}，{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，則y的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求證：當(dāng)n≥2時，有an≤
2
2
成立；
（2）設(shè)bn+1=
bn
an
，n∈N*，求證：數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)bn+1=anbn，n∈N*，試問{an}可能為等比數(shù)列嗎？若可能，請求出公比的值，若不可能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求證：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列，并求出其公差；
（Ⅱ）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列由表下給出：
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，…，5)，并規(guī)定數(shù)列		 n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an}，{ bn}的“并和”為 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
則y的最小值為
3
3
．

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