Question

已知函數(shù)f（x）=4^x，數(shù)列{a_n}中，2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，a₁=1且a_n≠0，若數(shù)列{b_n}中，b₁=2且b_n=f（

1

an-1

）（n≥2）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

bn

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，

1

a1

=1，由此能證明數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，從而能求出an=

2

n+1

(n∈N*)．
（Ⅱ）b₁=2，當n≥2時，bn=f(

1

an-1

)=f(

n

2

)=2ⁿ，從而得到

bn

an

=(n+1)2n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{

bn

an

}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，兩邊同時除以2a_n+1a_n，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，（3分）
∴

1

an

=1+(n-1)

1

2

=

n+1

2

，
∴an=

2

n+1

(n∈N*)．（6分）
（Ⅱ）b₁=2，當n≥2時bn=f(

1

an-1

)=f(

n

2

)=2ⁿ
當n=1時b₁=2也符合
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴

bn

an

=(n+1)2n-1（8分）
Tn=2×20+3×21+4×2²+…+（n+1）×2^n-1①
2T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ②（10分）
①-②得-Tn=-n•2n
∴Tn=n•2n（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．