Question

（2009•濟(jì)寧一模）給出下列四個(gè)命題：
①命題：“設(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 
②將函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=

2

cosx的圖象； 
③用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1）； 
④函數(shù)f（x）=e^x-x-1（x∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中所有真命題的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：因?yàn)椤霸O(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 判斷出①對(duì)；
利用函數(shù)的圖象的平移變換規(guī)律判斷出 ②錯(cuò)；
因?yàn)楫?dāng)n=k時(shí)，左邊=（k+1）（k+2）…（k+k）；當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）判斷出③對(duì)；
通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷出④錯(cuò)．

解答：解：對(duì)于①：“設(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 故①對(duì)；
對(duì)于②，將函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=

2

sinx的圖象； 故②錯(cuò)；
對(duì)于③，當(dāng)n=k時(shí)，左邊=（k+1）（k+2）…（k+k）；當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）
所以左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1）； 故③對(duì)；
對(duì)于④，因?yàn)閒′（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)因f′（x）=e^x-1＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x-1＜0，函數(shù)f（x）遞減，又因?yàn)閒（0）=0，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：解決圖象平移變換的問(wèn)題，一定注意左右平移的單位是自變量x上加、減的數(shù)的絕對(duì)值，遵循左加右減的規(guī)律．