Question

如圖，等腰梯形ABEF中，AB//EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O為AB的中點(diǎn)，矩形ABCD所在平面與平面ABEF互相垂直.

（1）求證：AF⊥平面CBF；

（2）在棱FC上是否存在點(diǎn)M，使得OM//平面DAF?

（3）求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）M為CF的中點(diǎn);（3）;

【解析】

試題分析：（1）依題意CB⊥平面ABEF,故CB⊥AF,而AF⊥BF,由判定定理知AF⊥平面CBF；（2）取CF的中點(diǎn)M,BF的中點(diǎn)N,易得平面OMN||平面ADF,從而OM//平面DAF；（3）過(guò)A 作AH⊥DF于H,由題意可證AH⊥平面DBF,而AH=,故點(diǎn)A到平面BDF的距離為.

試題解析：（1）

∴CB⊥AF，AF⊥BF，

∴AF⊥面CBF

（2）取CF的中點(diǎn)M,BF的中點(diǎn)N, 連OM,ON,MN,則MN||BC||AD

∴MN||平面ADF

又∵ON||AF,∴ON||平面ADF ∵M(jìn)NON=N ∴平面OMN||平面ADF ∴OM||平面AFD.

（3）過(guò)A 作AH⊥DF于H..

∵AD ⊥平面ABEF ∴AD⊥BF 又因?yàn)锳F⊥BF，AD=A ∴BF⊥平面ADF

∵平面ADF ∴AH⊥BF 又AH⊥DF, DFBF=F ∴AH⊥平面BDF

∴AH為A到平面BDF的距離. 在中，AD=AF=1，所以AH=.

考點(diǎn)：線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面平行、面面垂直的性質(zhì)與應(yīng)用