已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

 

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中，利用，其中.因為，所以，又，利用均值不等式求解得到最小值即可，第二問中，當時，，，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.從而得到極值。

第三問中，不妨設(shè)，則由得.構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解最值。

解：（I），其中.

  因為，所以，又，所以，

  當且僅當時取等號，其最小值為. ……………………………4分

 （II）當時，，.

                          ………………………………………………………..6分

  的變化如下表：

0

0

 

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.

                  ……………………………………………………………….8分

函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.

                  ……………………………………………………………….10分

（III）由題意，.

不妨設(shè)，則由得.  ……………12分

令，則函數(shù)在單調(diào)遞增.

                 

在恒成立.

即在恒成立.

因為，因此，只需.

解得. 

故所求實數(shù)的取值范圍為.  

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省曲阜一中10-11學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，
，其中且.
（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；
（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高三第二次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三第一次月考文科數(shù)學(xué) 題型：選擇題

已知函數(shù)，，（其中且），在同一坐標系中畫出其中兩個函數(shù)在x≥0且y≥0的范圍內(nèi)的大致圖像，其中正確的是（ ▲ ）

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣東省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：選擇題

已知函數(shù)，，（其中且），在同一坐標系中畫出其中兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)的大致圖像，則可能的一個是（    ）

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆山東省濰坊市三縣高二下學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案