Question

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=3，f（x+1）-f（x）=4x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3得，c=3． 因?yàn)閒（x+1）-f（x）=4x，所以2ax+a+b=4x，由此能夠求出f（x）．
（2）根據(jù)函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0）
由f（0）=3得，c=3    
因?yàn)閒（x+1）-f（x）=4x
所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=4x，
即2ax+a+b=4x，
所以

2a=4 a+b=0

解得a=2，b=-2，
所以y=2x²-2x+3，
（2）因?yàn)閥=2x²-2x+3，對(duì)稱軸x=

1

2

，
所以在[-1，

1

2

]單調(diào)遞減，在（

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=

1

2

時(shí)函數(shù)有最小值，最小值為

5

2

，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為7，

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求解及其常用方法，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．