Question

已知等差數(shù)列{a_n}不是常數(shù)列，a₁+a₂=4，a₂、a₅、a₁₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用裂項法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，
因數(shù)列不是常數(shù)列，則d≠0，
∵a₂、a₅、a₁₄等比，∴

a

2 5

=a2a14，
又a₁+a₂=4，
∴

2a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，
解這個方程組，得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
即的通項公式為a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

，
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(

1

1

-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和，要求熟練掌握裂項法求和，考查學(xué)生的運算能力．