分析 (1)在方程$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+y=1$中,分別令x=0,y=0,可得a,b,即可得出.
(2)①設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=k(x-2)(k≠0).代入橢圓方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),利用斜率計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可證明.
②因?yàn)镸N直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G(2,0),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0代入橢圓方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由判別式△>0解得k范圍.利用弦長(zhǎng)公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答 解:(1)在方程$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+y=1$中,令x=0,則y=1,所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),所以b=1;令y=0,則$x=\sqrt{2}$,所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為$({\sqrt{2},0})$,所以$a=\sqrt{2}$.
所以,橢圓Ω的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.
(2)①設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=k(x-2)(k≠0).代入橢圓方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}},{k_1}+{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}$=$\frac{{k({{x_1}-2})}}{{{x_1}-1}}+\frac{{k({{x_2}-2})}}{{{x_2}-1}}=k[{2-\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{({{x_1}-1})({{x_2}-1})}}}]=k[{2-\frac{{\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}-2}}{{\frac{{8{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}-\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+1}}}]=0$,
所以k1+k2=0,為定值.
②因?yàn)镸N直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G(2,0),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0代入橢圓方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由判別式△=(-8k2)2-4(2k2+1)(8k2-2)>0解得${k^2}<\frac{1}{2}$.點(diǎn)F(1,0)到直線(xiàn) MN的距離為h,則$h=\frac{{|{k-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}.S=\frac{1}{2}|{MN}|•h=\frac{1}{2}\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}•\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{{{({8{k^2}})}^2}}}{{{{({2{k^2}+1})}^2}}}-4\frac{{8{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}•\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{1}{2}|k|\frac{{\sqrt{8({1-2{k^2}})}}}{{2{k^2}+1}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{({1-2{k^2}}){k^2}}}{{{{({2{k^2}+1})}^2}}}}$,令t=1+2k2,則$S=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{-{t^2}+3t-2}}{{2{t^2}}}}=\sqrt{2}\sqrt{-{{({\frac{1}{t}-\frac{3}{4}})}^2}+\frac{1}{16}}$,所以${k^2}=\frac{1}{6}$時(shí),S的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,考查了推理能力與就你死了,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{6}V$ | B. | $\frac{1}{12}V$ | C. | $\frac{1}{16}V$ | D. | $\frac{1}{24}V$ |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | i | D. | 2i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | l1⊥l2 | B. | l1∥l2 | ||
C. | l1與l2相交不平行 | D. | l1與l2重合 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ |
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