分析 (1)求出f′(x)=1x−ax2=x−ax2,x>0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+2x.不妨令x1<x2,要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1.只需證f(x1)>f(4-x1).設(shè)g(x)=lnx+2x-ln(4-x)-24−x,g′(x)=−8(x−2)2x2(x−4)2≤0,由此能證明x1+x2>4.
解答 解:(1)∵f(x)=lnx+ax,
∴f′(x)=1x−ax2=x−ax2,x>0,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0總成立;
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=a.
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
綜上:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
證明:(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+2x.不妨令x1<x2,
要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1.
由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
則0<x1<2,x2>2,只需證f(x2)>f(4-x1),有f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(4-x1).
設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x),(0<x<2),
則令g(x)=lnx+2x-ln(4-x)-24−x,
g′(x)=1x-2x2-1x−4-2(x−4)2=−8(x−2)2x2(x−4)2≤0,
那么g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)>g(2)=0,
故證得f(x1)>f(4-x1).
∴x1+x2>4.
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論,考查不等式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用.
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A. | 偶函數(shù) | B. | 奇函數(shù) | C. | 不具有奇偶函 | D. | 奇偶性與p有關(guān) |
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A. | m=2 | B. | m=-1 | C. | m=2 或m=-1 | D. | m>−15且m≠1+√52 |
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A. | f (x1)-f (x2)<0 | B. | f (x1)-f (x2)>0 | C. | f (x1)+f (x2)<0 | D. | f (x1)+f (x2)>0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 1 | B. | 25 | C. | 52 | D. | 53 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 0 |
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A. | \frac{16}{15} | B. | 3\frac{17}{30} | C. | -8\frac{5}{6} | D. | 0 |
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