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11.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=2時(shí),且函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求證x1+x2>4.
(參考公式:[ln(m-x)]'=1xm,m為常數(shù))

分析 (1)求出fx=1xax2=xax2,x>0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+2x.不妨令x1<x2,要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1.只需證f(x1)>f(4-x1).設(shè)g(x)=lnx+2x-ln(4-x)-24x,g′(x)=8x22x2x42≤0,由此能證明x1+x2>4.

解答 解:(1)∵f(x)=lnx+ax
fx=1xax2=xax2,x>0,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0總成立;
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=a.
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
綜上:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
證明:(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+2x.不妨令x1<x2
要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1
由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
則0<x1<2,x2>2,只需證f(x2)>f(4-x1),有f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(4-x1).
設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x),(0<x<2),
則令g(x)=lnx+2x-ln(4-x)-24x,
g′(x)=1x-2x2-1x4-2x42=8x22x2x42≤0,
那么g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)>g(2)=0,
故證得f(x1)>f(4-x1).
∴x1+x2>4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論,考查不等式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用.

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