從數列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數列,稱之為數列{an}的一個子數列.設數列{an}是一個首項為a1、公差為d(d≠0)的無窮等差數列.
(1)若a1,a2,a5成等比數列,求其公比q.
(2)若a1=7d,從數列{an}中取出第2項、第6項作為一個等比數列的第1項、第2項,試問該數列是否為{an}的無窮等比子數列,請說明理由.
(3)若a1=1,從數列{an}中取出第1項、第m(m≥2)項(設am=t)作為一個等比數列的第1項、第2項,試問當且僅當t為何值時,該數列為{an}的無窮等比子數列,請說明理由.
分析:(1)由題設知(a
1+d)
2=a
1(a
1+4d),由此可求出其公比
q==3.
(2)設等比數列為{b
m},其公比
q==,
bm=a2qm-1=8d•()m-1,由題設a
n=a
1+(n-1)d=(n+6)d.再由反證法能夠推出該數列不為{a
n}的無窮等比子數列.
(3)①設{a
n}的無窮等比子數列為{b
r},其公比
==t(t≠1),得b
r=t
r-1,由此入手能夠推導出t是大于1的正整數.
②再證明:若t是大于1的正整數,則數列{a
n}存在無窮等比子數列.即證明無窮等比數列{b
r}中的每一項均為數列{a
n}中的項.綜上,當且僅當t是大于1的正整數時,數列{a
n}存在無窮等比子數列.
解答:解:(1)由題設,得a
22=a
1a
5,即(a
1+d)
2=a
1(a
1+4d),得d
2=2a
1d,又d≠0,
于是d=2a
1,故其公比
q==3.
(2)設等比數列為{b
m},其公比
q==,
bm=a2qm-1=8d•()m-1,
由題設a
n=a
1+(n-1)d=(n+6)d.
假設數列{b
m}為{a
n}的無窮等比子數列,
則對任意自然數m(m≥3),都存在n∈N
*,使a
n=b
m,
即
(n+6)d=8d•()m-1,
得
n=8()m-1-6,
當m=5時,
n=8()5-1-6=∉N*,與假設矛盾,
故該數列不為{a
n}的無窮等比子數列.
(3)①設{a
n}的無窮等比子數列為{b
r},其公比
==t(t≠1),得b
r=t
r-1,
由題設,在等差數列{a
n}中,
d==,
an=1+(n-1),
因為數列{b
r}為{a
n}的無窮等比子數列,
所以對任意自然數r(r≥3),都存在n∈N
*,使a
n=b
r,
即
1+(n-1)=tr-1,
得
n=(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1,
由于上式對任意大于等于3的正整數r都成立,且n,m-1均為正整數,
可知t
r-2+t
r-3+t+1必為正整數,
又d≠0,
故t是大于1的正整數.
②再證明:若t是大于1的正整數,則數列{a
n}存在無窮等比子數列.
即證明無窮等比數列{b
r}中的每一項均為數列{a
n}中的項.
在等比數列{b
r}中,b
r=t
r-1,
在等差數列{a
n}中,
d==,
an=1+(n-1),
若b
r為數列{a
n}中的第k項,則由b
r=a
k,得
tr-1=1+(k-1),
整理得
k=(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1,
由t,m-1均為正整數,得k也為正整數,
故無窮等比數列{b
r}中的每一項均為數列{a
n}中的項,得證.
綜上,當且僅當t是大于1的正整數時,數列{a
n}存在無窮等比子數列.
點評:本題考查數列的綜合運用,難度較大,解題時要認真審題,仔細解答,避免出錯.