Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，E為棱CC₁上異于C、C₁的一點，EA⊥EB₁，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=

π

3

，求：
（Ⅰ）異面直線AB與EB₁的距離；
（Ⅱ）二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）先證明BE是異面直線AB與EB₁的公垂線，再利用平面幾何知識結合方程思想及解三角形的方法求出BE的長即可；
（2）過E作EG∥B₁A₁再證明∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角，利用平行證得∠AEG=∠BAE，只要求出tan∠BAE即得．

解答：解：（Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE．
又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁內(nèi)的射影為EB．
由三垂線定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是異面直線AB與EB₁的公垂線，
在平行四邊形BCC₁B₁中，設EB=x，則EB₁=

4-x2

，
作BD⊥CC₁，交CC₁于D，則BD=BC•sin

π

3

=

3

2

．
在△BEB₁中，由面積關系得

1

2

x

4-x2

=

1

2

•2•

3

2

，即（x²-1）（x²-3）=0．
解得x=±1，x=±

3

（負根舍去）
當x=

3

時，在△BCE中，CE²+1²-2CE•cos

π

3

=3，
解之得CE=2，故此時E與C₁重合，由題意舍去x=

3

．
因此x=1，即異面直線AB與EB₁的距離為1．
（Ⅱ）過E作EG∥B₁A₁，則GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圓A₁B₁E內(nèi)，
又已知AE⊥EB₁
故∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角．
因EG∥B₁A₁∥BA，∠AEG=∠BAE，故tanAEG=

BE

AB

=

1

2

=

2

2

．

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．