Question

如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)（向右為順時(shí)針，向左為逆時(shí)針）．設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則關(guān)于f（x）的最小正周期T及y=f（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是（ ）

A．T=4，S=π+1
B．T=2π，S=2π+1
C．T=4，S=2π+1
D．T=2π，S=π+1

Answer 1

【答案】分析：沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，由此可得結(jié)論．
解答：解：從某一個(gè)頂點(diǎn)（比如A）落在x軸上的時(shí)候開始計(jì)算，到下一次A點(diǎn)落在x軸上，這個(gè)過程中四個(gè)頂點(diǎn)依次落在了x軸上，而每兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4．
下面考查P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，不妨考查正方形向右滾動(dòng)，P點(diǎn)從x軸上開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，首先是圍繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)個(gè)圓，該圓半徑為1，然后以B點(diǎn)為中心，滾動(dòng)到C點(diǎn)落地，其間是以BP為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，再以C為圓心，旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)候以CP為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：

∴兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積S=2××π+2××1×1+×2π=π+1
故選A．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知畫出正方形轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．