定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x、y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0.
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(3)若x≥0時f(x)為增函數(shù),求滿足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合.
解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1).
∴f(1)=0.
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1).
∴f(-1)=0.
(2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得
f(-x)=f(x)+f(-1).
又f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),
又f(x)不恒為0,∴f(x)為偶函數(shù).
(3)由f(x+1)-f(2-x)≤0,知f(x+1)≤f(2-x).
又由(2)知f(x)=f(|x|),
∴f(|x+1|)≤f(|2-x|).
又∵f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),∴|x+1|≤|2-x|.
故x的取值集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1-f(x) | 1+f(x) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表:
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