已知函數(shù),
.
(1)求在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)證明: 曲線與曲線
有唯一公共點(diǎn);
(3)設(shè),比較
與
的大小, 并說(shuō)明理由.
(1);(2)祥見(jiàn)解析; (3)
.
【解析】
試題分析:(1)由于為切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線方程,化成一般式即可;(2)要證兩曲線有唯一公共點(diǎn),只須證兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點(diǎn),注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零,所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可;(3)要比較兩個(gè)式子的大小,一般用比差法:作差,然后對(duì)差式變形,最后確定差式的符號(hào).此題作差后字母較多,注意觀察,可構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究,從而達(dá)到確定符號(hào)的目的.
試題解析:(1),則
,
點(diǎn)
處的切線方程為:
,即
(2)令 ,
,則
,
,且
,
,
因此,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增.
所以,所以
在
上單調(diào)遞增,又
,即函數(shù)
有唯一零點(diǎn)
,
所以曲線與曲線
有唯一公共點(diǎn)
.
(3)設(shè)
令,則
,
所以在
上單調(diào)遞增,且
,因此
,從而
在
上單調(diào)遞增,而
,所以在
上
;即當(dāng)
時(shí),
,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720002820138274/SYS201411172000343422782276_DA/SYS201411172000343422782276_DA.043.png">,所以有
;所以當(dāng)
時(shí),
.
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)f(x)=+
的定義域?yàn)? )
A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知橢圓C:的離心率為
.雙曲線
的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球,它們大小形狀完全相同,現(xiàn)需一個(gè)紅球,甲每次從中任取一個(gè)不放回,在他第一次拿到白球的條件下,第二次拿到紅球的概率( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
關(guān)于函數(shù),有下列命題
①由,可得
必是
的整數(shù)倍;
②的表達(dá)式可改寫(xiě)成
;
③的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱;
④的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),則
的最小值為( ).
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濟(jì)寧市高二5月質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若
成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_(kāi)_______.(離心率
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高二下學(xué)期期中檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)在
處取得極值,求函數(shù)
以及
的極大值和極小值.
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