Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在y軸上，離心率為

3

3

．過F₁的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為4

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓O：x²+y²=5上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)出橢圓方程，結(jié)合△ABF₂的周長為4

3

求得長半軸長，再由離心率及隱含條件即可求得短半軸長，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)與過點(diǎn)P的橢圓E的切線的方程，聯(lián)立切線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式等于0得到關(guān)于切線斜率k的方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系證得答案．

解答： （1）解：設(shè)橢圓E的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵AB過F₁且A，B在橢圓上，
則△ABF₂的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4

3

．
故a=

3

．
又離心率e=

c

a

=

3

3

，∴c=1，b²=a²-c²=2．
故橢圓E的方程為

y2

3

+

x2

2

=1；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），過點(diǎn)P的橢圓E的切線l₀的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立

y-y0=k(x-x0) y2 3 + x2 2 =1

，可得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0．
∵l₀與橢圓E相切，故△=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0．
整理可得(2-x02)k2+2kx0y0-(y02-3)=0．
設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，則k1•k2=-

y02-3

2-x02

．
因點(diǎn)P在圓O上，∴x02+y02=5，
∴k1•k2=-

5-x02-3

2-x02

=-1．
故兩條切線的斜率之積為常數(shù)-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．