Question

已知雙曲線C：2x²－y²＝2與點P(1，2)．

(1)求過點P(1，2)的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點．

(2)是否存在過P點的弦AB，使AB中點為P？

(3)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設直線l的方程為y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得 　　(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0，(*) 　　當k＝±時，方程組有唯一解． 　　當k≠±時，由Δ＝0，得k＝． 　　∴當k＝±或k＝或k不存在時，l與C只有一個交點． 　　如圖，當＜k＜或k＜或＜k＜時，l與C有兩個交點． 　　(2)假設以P為中點的弦AB存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程(*)的兩個根，由韋達定理得 　　＝1，解得k＝1． 　　∴這樣的弦存在，方程為y＝x＋1． 　　(3)假設弦AB以Q為中點，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴2x12－y12＝2，2x22－y22＝2， 　　兩式相減得2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，∴2(x1－x2)＝y(tǒng)1－y2． 　　∴AB的斜率為2，但漸近線斜率為±，結合圖形知直線AB與C無交點． 　　∴假設不正確，即以Q為中點的弦不存在．

提示：

本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，特別是直線與雙曲線的交點問題，以及解決直線與曲線相交問題的常用方法，同時考查分析、解決問題的能力及運算能力． 　　(1)l與雙曲線C有無公共點或有幾個公共點可通過方程解的情況作答．(2)、(3)可假設存在，然后求解，求出為存在，推出矛盾為不存在，弦中點問題可作差解答．