已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過點(-
3
,
3
2
)
,其離心率是
1
2

(1)求這個橢圓的標準方程; 
(2)斜率為1的直線l與橢圓交于A,B兩點,橢圓上是否存在一點P,使四邊形OAPB為平行四邊形?若存在,求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.
分析:(1)由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過點(-
3
3
2
)
,其離心率是
1
2
,構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,解方程組求出a,b的值,代入可得橢圓的標準方程.
(2)直線l的方程為y=x+m,聯(lián)立直線與橢圓的方程,由韋達定理可得x1+x2=-
4m
7
,y1+y2=
10m
7
,進而根據(jù)平行四邊形對角頂點和相等,可得P點坐標,代入橢圓方程求出m值后,進而可得P點坐標.
解答:解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過點(-
3
,
3
2
)
,且離心率是
1
2

3
a2
+
3
4b2
=1
3a2=4b2

解得a2=4,b2=3
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
x2
4
+
y2
3
=1
y=x+m
得:7x2+8mx+4m2-12=0
則x1+x2=-
4m
7
,y1+y2=x1+x2+2m=
10m
7

若四邊形OAPB為平行四邊形,則x0=x1+x2=-
4m
7
,y0=y1+y2=
10m
7

又∵點P在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上,
(-
4m
7
)
2
4
+
(
10m
7
)
2
3
=1

解得m=±
21
4

故P點坐標為(-
21
7
,
5
21
14
)或(
21
7
,-
5
21
14
點評:本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程,熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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