Question

已知直線

3

x+2y-2

3

=0恰好經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，且點M（1，t），（t＞0）在該橢圓上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線l：x-2y+m=0與該橢圓相交于不同兩點A，B，證明：直線MA，MB的傾斜角互補．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）直線MA，MB的傾斜角互補?k_MA+k_MB=0，將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．

解答：解：（1）由題意得

3

a+0-2

3

=0，0+2b-2

3

=0，解得a=2，b=

3

．
∴要求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵點M（1，t），（t＞0）在該橢圓上，∴

1

4

+

t2

3

=1，解得t=

3

2

，∴M(1，

3

2

)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又直線l經(jīng)過A、B，
則k_MA=

y1- 3 2

x1-1

=

x1+m-3

2x1-2

，k_MB=

y2- 3 2

x2-1

=

x2+m-3

2x2-2

．
聯(lián)立

x-2y+m=0 x2 4 + y2 3 =1

，消去y化為4x²+2mx+m²-12=0，
由于直線l與橢圓相較于A、B兩點，∴△=4m²-16（m²-12）＞0，化為m²＜16，解得-4＜m＜4．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=-

m

2

，x1x2=

m2-12

4

．
∴k_MA+k_MB=

(x1+m-3)(x2-1)+(x2+m-3)(x1-1)

2(x1-1)(x2-1)

=

2x1x2+(m-4)(x1+x2)-2(m-3)

2(x1-1)(x2-1)

=

m2-12 2 - m(m-4) 2 -2(m-3)

2(x1-1)(x2-1)

=0．
∴k_MA+k_MB=0號，
故直線MA、MB的傾斜角互補．

點評：熟練掌握橢圓的定義及把問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的相交問題的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．