Question

某實驗中學(xué)高2010級同學(xué)共捐款2000元，準(zhǔn)備為“希望小學(xué)”購買單價為50元的課桌和20元的椅子，若要使桌椅的總數(shù)盡可能多，但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌椅各買多少才合適．（要求畫出示意圖）．

Answer 1

分析：本題考查的是線性規(guī)劃問題．作為應(yīng)用題應(yīng)先根據(jù)背景設(shè)未知數(shù)，本題可設(shè)購買桌子x張，椅子y張，其總數(shù)為z．然后根據(jù)信息找出線性約束條件，并畫出可行域，然后變形目標(biāo)函數(shù)根據(jù)邊界直線的斜率與變形目標(biāo)函數(shù)后的直線斜率對比，找到最優(yōu)解的位置．通過聯(lián)立邊界直線解除最優(yōu)解，最后根據(jù)問答情況下出結(jié)論．

解答：解：設(shè)桌椅分別買x，y張，則桌椅的總數(shù)z=x+y…（2分）
由題意得：

x≥0 y≥0 x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

…（4分）
滿足以上不等式組所表示的區(qū)域
是以A（

200

7

，

200

7

），B（25，37.5），
O（0，0）為頂點(diǎn)的△AOB內(nèi)部．（如圖所示）．…（6分）
對△AOB內(nèi)的點(diǎn)P（x，y），z=x+y，即y=-x+z，這是斜率為-1，在y軸上截距為z的平行直線系．…（7分）
要使z最大，只有點(diǎn)P與B重合即可，得x=25，y=37.5，但y∈Z，∴取y=37    所以買桌子25張，椅子37張時是最優(yōu)選擇．…（11分）
答：應(yīng)買桌子25張，椅子37張．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的是線性規(guī)劃中的應(yīng)用問題，在解答此類問題時：認(rèn)真審題、依據(jù)背景設(shè)量、列線性約束條件、寫目標(biāo)函數(shù)、畫可行域、變形目標(biāo)函數(shù)、邊界直線斜率與目標(biāo)函數(shù)變形后直線斜率的對比、由相應(yīng)邊界直線聯(lián)立解得最優(yōu)解還有最終根據(jù)題意下好結(jié)論的解答思路在此題中得到了充分的體現(xiàn)，值得同學(xué)們體會、反思還有總結(jié)．