Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和的正弦公式，將函數(shù)f（x）化簡為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，最后利用周期計算公式求其周期，最后將內(nèi)層函數(shù)置于外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，利用五點作圖法，先列表，再描點連線畫出函數(shù)在一個周期上的圖象

解答：解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)
∴最小正周期為

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，則-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)
（2）列表

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
f（x）	0	1	0	-1	0

畫圖象如圖：

點評：本題主要考查了三角變換公式在化簡中的應(yīng)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點作圖法畫函數(shù)圖象的方法，屬基礎(chǔ)題