Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，對任意，且有恒成立？

若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）當時，求得函數(shù)的導數(shù)，得到，進而可求解切線的方程；

（Ⅱ）就得函數(shù)的導數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性，得到單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）由題意，不妨設(shè)，由題意，可得，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（Ⅰ）

，

所以所求的切線方程為

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，

①當時，在上單調(diào)遞增．

②當時，在時，單調(diào)遞增；

在時，單調(diào)遞減；

在時，單調(diào)遞增；

③當時，在時，單調(diào)遞增；

在時，單調(diào)遞減；

在時，單調(diào)遞增.

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的實數(shù)，滿足條件，不妨設(shè)，

由知，，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．

所以

所以，故存在這樣的實數(shù)，滿足題意，其取值范圍為．