Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：
①f（10）=1，
②對任意實數(shù)b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（

1

2

），f（

1

4

），及滿足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）證明對任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）證明f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知中對任意實數(shù)b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，由1=10⁰，

1

2

=10^lg

1

2

，

1

4

（

1

2

）²，可求相應(yīng)函數(shù)值，進(jìn)而由k-1002=10^{lg（k-1002）}，代入構(gòu)造關(guān)于k的方程，可求出k值．
（2）設(shè)x，y∈（0，+∞），由f（xy）=f（x•xlogxy）代入公式可證得f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因為x＞1時，f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，設(shè)0＜x₁＜x₂，f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）結(jié)合（2）中結(jié)論及函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答：解：（1）∵對任意實數(shù)b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，
f（

1

2

）=f（10^lg

1

2

）=lg

1

2

×1=lg

1

2

f（

1

4

）=f[（

1

2

）²]=2f（

1

2

）=2lg

1

2

．
因為f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）設(shè)x，y∈（0，+∞），
當(dāng)x≠1時，
f（xy）=f（x•xlogxy）
=x1+logxy
=（1+log_xy）f（x）
=f（x）+log_xy•f（x）
=f（x）+f（xlogxy）
=f（x）+f（y）．
當(dāng)x=1時，因為f（1）=0也適合，
故對任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因為x＞1時，
f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0．
由（2）知f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)函數(shù)值的求法，抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，難度較大，屬于中檔題．