Question

如圖（1），為等邊三角形，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形且，為線(xiàn)段中點(diǎn)，將沿折起（如圖2），使得線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于，對(duì)于圖二，完成以下各小題：

（圖1） （圖2）

(1)證明：平面；

(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面垂直？若存在，請(qǐng)求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

(1) 見(jiàn)解析

(2)

(3) 故線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)P，此時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)度為

【解析】

試題分析：關(guān)于線(xiàn)面垂直的證明問(wèn)題，注意把線(xiàn)面垂直的判定定理的內(nèi)容記熟，對(duì)于線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化要熟悉，注意線(xiàn)面角的求法，并且第一步求出的直接結(jié)果就是線(xiàn)面角的正弦值，要看清要求的結(jié)果是誰(shuí)，關(guān)于是否存在類(lèi)問(wèn)題，注意一般步驟，要先下結(jié)論，之后求解，能求出來(lái)就說(shuō)明有，退出矛盾，就說(shuō)明沒(méi)有.

試題解析：（1）∵

又∵∴ ∴

同理可證 故垂直面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)

則平面 3分

(2) 由(1)知,,又有

故可建如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz. 4分

∴

∴ ，,,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，

則，取，得． 6分

設(shè)直線(xiàn)AE與平面所成角為θ，

則， 7分

∴設(shè)直線(xiàn)AE與平面所成角的正弦值為. 8分

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,并設(shè)()

則

設(shè)平面CPE的一個(gè)法向量為，

則，取，得． 11分

要使得平面CPE與平面垂直,只需即

解得，

故線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)P，使得平面CPE與平面垂直，此時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)度為 14分

（說(shuō)明：①答案提及“存在”而不能說(shuō)明理由的得1分

②第（3）小題也可設(shè)P（2-t,0,t）展開(kāi)解答）

考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面角，面面垂直.