Question

函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當時，.

Answer 1

【解析】（1）；（2）見解析 

解析：（1）∵

   由已知  ∴   得             ………2分

  ∴

  當為增函數(shù)；

  當時，，為減函數(shù)。

 ∴是函數(shù)的極大值點                              ………4分

 又在上存在極值  

∴    即 

  故實數(shù)的取值范圍是                               ………5分

（2）  

 即為                       ………6分

   令 

   則

   再令   則

   ∵   ∴   ∴ 在上是增函數(shù)

   ∴   ∴

   ∴在上是增函數(shù) 

 ∴時，   故            ………9分

令

則

∵   ∴  ∴  即上是減函數(shù)

∴時，                         ………11分

所以，  即          ………12分

【思路點撥】(1)先求導得，利用單調性判斷出是函數(shù)的極大值點，所以有，解不等式組即可；（2）先轉化為， 令，再求導結合單調性證明。