【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個(gè)故事,說的是齊國(guó)大將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開始時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

（2）如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）0.72；（2）金.

【解析】

（1）田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬獲勝的概率為，用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬獲勝的概率為，用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬獲勝的概率為.由題意求解即可.

（2）根據(jù)比賽約定，只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn)，在某月的比賽中田忌獲勝，則三場(chǎng)比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負(fù)勝勝，勝負(fù)勝，勝勝負(fù)，求出該月的比賽中田忌獲勝的概率以及該月賽馬獲利得期望，再求解一年的獲利期望，即可.

（1）記事件：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，

對(duì)于事件，三場(chǎng)比賽中，由于有一場(chǎng)比賽田忌必輸，另兩場(chǎng)都勝，

故.

（2）設(shè)田忌在每次比賽中所得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量（金），則的取值為和,

若在某月的比賽中田忌獲勝，則三場(chǎng)比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負(fù)勝勝，勝負(fù)勝，勝勝負(fù).

設(shè)在該月的比賽中田忌獲勝的概率為，則

,

,

因此田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為（金）.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率存在，且為中點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（ ）

A.沙漏中的細(xì)沙體積為

B.沙漏的體積是

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線，過點(diǎn)且與拋物線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，弦和的中點(diǎn)分別為，若，則下列結(jié)論正確的是

（______________）

①的最小值為32

②以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最小值為128

③直線過定點(diǎn)

④焦點(diǎn)可以同時(shí)為弦和的三等分點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知由n（n∈N*）個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），記SA＝a1+a2+…+an，對(duì)于任意不大于SA的正整數(shù)m，均存在集合A的一個(gè)子集，使得該子集的所有元素之和等于m.

（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值時(shí)an的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)離心率為 的橢圓 的左、右焦點(diǎn)為 , 點(diǎn)P是E上一點(diǎn), , 內(nèi)切圓的半徑為 .

(1)求E的方程;

(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線上，A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長(zhǎng)為 , 求直線AB的方程.

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