Question

方程x²+-1=0的解可視為函數(shù)y=x+的圖象與函數(shù)y=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．若x⁴+ax-9=0的各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，x⁴+ax-9=0的各個(gè)實(shí)根可看做是函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于交點(diǎn)要在直線y=x的同側(cè)，可先計(jì)算函數(shù)y=的圖象與y=x的交點(diǎn)為A（3，3），B（-3，-3），再將函數(shù)y=x³縱向平移|a|，數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)只需函數(shù)y=x³+a的圖象與y=x的交點(diǎn)分布在A的外側(cè)或B的外側(cè)，故計(jì)算函數(shù)y=x³+a的圖象過(guò)點(diǎn)A或B時(shí)a的值即可的a的范圍
解答：解：如圖x⁴+ax-9=0的各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）
可看做是函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)
∵函數(shù)y=的圖象與y=x的交點(diǎn)為A（3，3），B（-3，-3），
函數(shù)y=x³+a的圖象可看做是將函數(shù)y=x³縱向平移|a|的結(jié)果，其圖象為關(guān)于（0，a）對(duì)稱的增函數(shù)
當(dāng)函數(shù)y=x³+a的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3）時(shí)，a=-24
當(dāng)函數(shù)y=x³+a的圖象過(guò)點(diǎn)B（-3，-3）時(shí)，a=24
∴要使函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)C、D均在直線y=x的同側(cè)
只需使函數(shù)y=x³+a的圖象與y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于3或小于-3
∴數(shù)形結(jié)合可得a＜-24或a＞24
故答案為（-∞，-24）∪（24，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)形結(jié)合解決根的存在性及根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的方法，認(rèn)真分析“動(dòng)”函數(shù)與“定”函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵