Question

判斷命題“若a≥0，則x²＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根，其逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a＜0． 　　∵x2＋x－a＝0無實根，∴Δ＝1＋4a＜0． 　　∴a＜＜0． 　　∴“x2＋x－a＝0無實根，則a＜0”是真命題． 　　解法二：∵a≥0，∴4a≥0，4a＋1＞0． 　　∴方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1＞0．∴方程x2＋x－a＝0有實根． 　　∴原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真命題．又∵原命題和它的逆否命題同真假， 　　∴“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真命題． 　　解法三：命題p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有實根， 　　∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|x2＋x－a＝0有實根}＝{a∈R|a≥0}． 　　∵a≥0，∴4a＋1＞0．∴方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，即AB．∴“若p則q”為真命題． 　　∴其逆否命題“若p則q”為真命題． 　　∴“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真命題． 　　解法四：設(shè)p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有實根，則p：a＜0，q：x2＋x－a＝0無實根， 　　∴p：A＝{a∈R|a＜0}，q：B＝{a∈R|x2＋x－a＝0無實根}＝{a∈R|a＜}． 　　∵BA，∴“若q則p”為真命題， 　　即“若方程x2＋x－a＝0無實根，則a＜0”為真命題．

提示：

可以直接判斷逆否命題的真假，也可以判斷一個與之等價的命題的真假．